Hermite 插值

一、问题提出

对于给定的结点 x_0 < x_1 < \cdots < x_k 和正整数 m_0, m_1, \cdots, m_k（m_i \geq 1），求次数不超过 N = m_0 + m_1 + \cdots + m_k - 1 的多项式 p(x)，使它在每个结点 x_i (i = 0, 1, \cdots, k) 处，分别满足条件

p^{(j)}(x_i) = f^{(j)}(x_i), \quad j = 0, 1, \cdots, m_i - 1.

即在每个结点 x_i 处，p(x) 与 f(x) 有相同的函数值以及前 m_i - 1 阶导数值。

二、插值基函数的构造

2.1 基函数的定义

对每个结点 x_i，构造 m_i 个插值基函数 L_{ij}(x)（j = 0, 1, \cdots, m_i - 1），其中 L_{ij}(x) 为 N 次多项式，满足：

L_{ij}^{(s)}(x_i) = \delta_{js}, \quad s = 0, 1, \cdots, m_i - 1. \tag{1}

而对除 x_i 以外的各结点，满足

L_{ij}^{(s)}(x_l) = 0, \quad l \neq i, \quad s = 0, 1, \cdots, m_l - 1.

2.2 基函数形式的推导

记

A(x) = (x - x_0)^{m_0}(x - x_1)^{m_1} \cdots (x - x_k)^{m_k}.

我们断言 L_{ij}(x) 具有如下形式：

L_{ij}(x) = \frac{A(x)}{(x - x_i)^{m_i}} \cdot \frac{(x - x_i)^j}{j!} l_{ij}(x), \tag{2}

其中 l_{ij}(x) 为待定的 m_i - j - 1 次多项式。

为什么取这种形式？ 这是由 L_{ij}(x) 需要满足的条件决定的。

（1）在其他结点处为零

注意到
\frac{A(x)}{(x - x_i)^{m_i}} = \prod_{l \neq i}(x - x_l)^{m_l}

这个函数在每个结点 x_l（l \neq i）处有 m_l 重零点。因此，\frac{A(x)}{(x - x_i)^{m_i}} 及其前 m_l - 1 阶导数在 x_l 处都为零，这正好满足在其他结点处的条件。

（2）在 x_i 处满足导数条件

为了满足 L_{ij}^{(s)}(x_i) = \delta_{js}，我们乘以因子 \frac{(x - x_i)^j}{j!}。这是因为：

• 函数 \frac{(x - x_i)^j}{j!} 在 x_i 处的前 j 阶导数都为零
• 第 j 阶导数为 1

因此，\frac{(x - x_i)^j}{j!} 提供了正确的"骨架"结构。

（3）待定多项式 l_{ij}(x) 的作用

为了调整 L_{ij}(x) 在 x_i 处的各阶导数值，我们引入待定多项式 l_{ij}(x)。由于 \frac{A(x)}{(x - x_i)^{m_i}} 在 x_i 处不为零（记其值为 a_0 \neq 0），我们可以通过选择 l_{ij}(x) 来精确控制 L_{ij}(x) 在 x_i 处的导数值。

2.3 l_{ij}(x) 次数的确定

L_{ij}(x) 的总次数为 N，而
\deg\left(\frac{A(x)}{(x - x_i)^{m_i}}\right) = N + 1 - m_i

所以
\deg(l_{ij}(x)) = N - (N + 1 - m_i) - j = m_i - j - 1

三、待定多项式 l_{ij}(x) 的确定

3.1 方法一：Taylor 展式截断

根据条件 (1)，L_{ij}(x) 在 x_i 处的展开必须满足：

L_{ij}(x) = \frac{(x - x_i)^j}{j!} + \sum_{t=m_i}^{N} c_t(x - x_i)^t

由此可得

l_{ij}(x) = \left(1 + \sum_{t=m_i}^{N} \bar{c}_t(x - x_i)^{t-j}\right) \frac{(x - x_i)^{m_i}}{A(x)}

为什么 l_{ij}(x) 必须是 Taylor 展式的低次部分？

将 \frac{(x - x_i)^{m_i}}{A(x)} 在 x = x_i 处作 Taylor 展开：

\frac{(x - x_i)^{m_i}}{A(x)} = d_0 + d_1(x - x_i) + d_2(x - x_i)^2 + \cdots

注意到括号内表达式
1 + \sum_{t=m_i}^{N} \bar{c}_t(x - x_i)^{t-j}
中，最低次项是常数项 1，而 t - j \geq m_i - j（因为 t \geq m_i）。

将两者相乘：
l_{ij}(x) = \left(1 + \bar{c}_{m_i}(x - x_i)^{m_i-j} + \cdots\right)\left(d_0 + d_1(x - x_i) + \cdots\right)

关键观察：

• 用 1 乘以 Taylor 展式，得到 d_0 + d_1(x - x_i) + d_2(x - x_i)^2 + \cdots
• 用 \bar{c}_{m_i}(x - x_i)^{m_i-j} 乘以 Taylor 展式，最低次项是 \bar{c}_{m_i}d_0(x - x_i)^{m_i-j}，次数 \geq m_i - j

因此，l_{ij}(x) 中次数 \leq m_i - j - 1 的项完全来自于 Taylor 展式 \frac{(x - x_i)^{m_i}}{A(x)} 中对应的低次部分。

由于 l_{ij}(x) 本身是 m_i - j - 1 次多项式，它必须恰好等于 Taylor 展式中次数不超过 m_i - j - 1 的那部分，记为

l_{ij}(x) = \left\{\frac{(x - x_i)^{m_i}}{A(x)}\right\}_{x_i}^{(m_i-j-1)}

3.2 方法二：递推方程组

将 \frac{A(x)}{(x - x_i)^{m_i}} 在 x = x_i 处作 Taylor 展开：

\frac{A(x)}{(x - x_i)^{m_i}} = a_0 + a_1(x - x_i) + \cdots + a_{N+1-m_i}(x - x_i)^{N+1-m_i} \tag{3}

设
l_{ij}(x) = b_0 + b_1(x - x_i) + \cdots + b_{m_i-j-1}(x - x_i)^{m_i-j-1} \tag{4}

方程组的推导

将 (3) 和 (4) 代入 (2)：

L_{ij}(x) = \left(a_0 + a_1(x - x_i) + \cdots\right) \cdot \frac{(x - x_i)^j}{j!} \left(b_0 + b_1(x - x_i) + \cdots\right)

展开乘积，得到：
L_{ij}(x) = \frac{(x - x_i)^j}{j!} \sum_{s=0}^{N} c_s (x - x_i)^s

其中 c_s 是 a 和 b 的卷积：
c_s = \sum_{t=0}^{s} a_t b_{s-t}

根据条件 (1)，L_{ij}(x) 在 x_i 处的展开必须满足：
L_{ij}(x) = \frac{(x - x_i)^j}{j!} + \text{次数} \geq m_i \text{ 的项}

这意味着：

• c_0 = a_0 b_0 = 1
• c_s = a_0 b_s + a_1 b_{s-1} + \cdots + a_s b_0 = 0，对于 s = 1, 2, \cdots, m_i - j - 1

于是得到方程组：